Question

17．①当α∈（0，$\frac{π}{2}$），求证：sinα＜α＜tanα；
①当α∈（0，$\frac{π}{2}$），求证：sinα+cosα＞1．

Answer 1

分析 ①由题意作出三角函数线，通过三角形的面积以及扇形面积的大小比较可得．
②作出三角函数线，由三角形两边之和大于第三边可得结论．

解答 解：①在直角坐标系中结合单位圆作出锐角α的正弦线和正切线，
由图可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，即sinα＜α＜tanα，
故答案为：sinα＜α＜tanα．

②如图P为α与单位圆交点，
则OP=1，OM、MP分别为α的余弦线，正弦线，
由三角形两边之和大于第三边可得OM+MP＞OP，
即sinα+cosα＞1．

点评 本题考查三角函数线，考查转化思想以及判断能力，属中档题．