题目内容

17.如果直角三角形周长为2,则它的最大面积为$3-2\sqrt{2}$.

分析 设直角三角形的两直角边为a、b,利用勾股定理求出斜边c的表达式,由周长和基本不等式求出ab的范围,根据三角形的面积即可求出直角三角形面积的最大值.

解答 解:设直角三角形的两直角边分别为a、b,则斜边c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$,
由已知得a+b+c=2,∴a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=2,
∵a+b+$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$≥2$\sqrt{ab}$+$\sqrt{2}$$\sqrt{ab}$(当且仅当a=b时取等号),
∴2≥(2+$\sqrt{2}$)$\sqrt{ab}$,解得$\sqrt{ab}$≤$\frac{2}{2+\sqrt{2}}$=2-$\sqrt{2}$,
则ab≤6-4$\sqrt{2}$,
∴直角三角形的面积S=$\frac{1}{2}ab$≤$3-2\sqrt{2}$,
∴直角三角形面积的最大值是$3-2\sqrt{2}$,
故答案为:$3-2\sqrt{2}$.

点评 本题考查了基本不等式的实际应用,列出有关量的函数关系式或方程式是解题关键,注意基本不等式的三个条件,属于基础题.

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