Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）在区间[-ω，ω]上单调递增，且函数f（x）的图象关于x=ω对称，则ω的值$\frac{\sqrt{3π}}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性和图象的对称性求得ω²+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，由此求得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的图象关于x=ω对称，
∴ω²+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），∴ω²=kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z），
f（x）在区间[-ω，ω]上单调递增，∴半个周期大于或等于2ω，即$\frac{π}{ω}$≥2ω，∴ω²≤$\frac{π}{2}$，
∴应有ω²=$\frac{π}{3}$，求得ω=$\frac{\sqrt{3π}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3π}}{3}$．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式、正弦函数的单调性和图象的对称性，属于基础题．