题目内容
(本小题共14分)
已知椭圆
经过点
其离心率为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
相交于A、B两点,以线段
为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆
上,
为坐标原点.求
的取值范围.
【答案】
解:(Ⅰ)由已知可得,所以
① ……………1分
又点在椭圆
上,所以
② ……………2分
由①②解之,得.
故椭圆的方程为
.
……………5分
(Ⅱ) 当时,
在椭圆
上,解得
,所以
. ……6分
当时,则由
消化简整理得:
,
③
……………8分
设点的坐标分别为
,则
.……9分
由于点在椭圆
上,所以
. …………10分
从而,化简得
,经检验满足③式.…11分
又
………………12分
因为,得
,有
,
故.
………………………13分
综上,所求的取值范围是
. ………………………14分
(Ⅱ)另解:设点的坐标分别为
,
由在椭圆上,可得
………………………6分
①—②整理 …………………7分
由已知可得,所以
……………………8分
由已知当 ,即
⑥……………………9分
把④⑤⑥代入③整理得………………………10分
所求
的取值范围是
. ………………………14分
【解析】略

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