题目内容

(本小题共14分)

已知椭圆 经过点其离心率为.

   (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆相交于AB两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点.求的取值范围.

 

 

【答案】

解:(Ⅰ)由已知可得,所以     ① ……………1分

   又点在椭圆上,所以         ② ……………2分

由①②解之,得.                               

 故椭圆的方程为.                        ……………5分

  (Ⅱ) 当时,在椭圆上,解得,所以.   ……6分

时,则由    

化简整理得:

    ③      ……………8分

点的坐标分别为,则

.……9分

   由于点在椭圆上,所以 .    …………10分

从而,化简得,经检验满足③式.…11分

   又

        

              ………………12分

    因为,得,有

.           ………………………13分

       综上,所求的取值范围是.   ………………………14分

(Ⅱ)另解:设点的坐标分别为

在椭圆上,可得………………………6分

①—②整理     …………………7分

由已知可得,所以……………………8分

由已知当 ,即 ⑥……………………9分

把④⑤⑥代入③整理得………………………10分

所求的取值范围是.    ………………………14分

 

【解析】略

 

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