题目内容
如图,已知椭圆C:

(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l:y=kx与抛物线E的交点为O,Q,与椭圆c的交点为M,N(N在线段OQ上),且|MO|=|NQ|. 问满足条件的直线l有几条,说明理由.

【答案】分析:(1)确定椭圆的焦点坐标,点P的坐标,利用点P在椭圆C上,求得a的值,根据c=1,b=
,即可求得椭圆C的方程;
(2)联立直线与椭圆方程,可求M的坐标,联立直线与抛物线,可求Q的坐标,根据|MO|=|NQ|,可得N为线段OQ的中点,从而可建立方程,由此可得结论.
解答:解:(1)∵抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0),∴椭圆的焦点坐标为(±1,0).
由点P在抛物线y2=4x上,所以P(
,
).
又点P在椭圆C上,所以2a=4,所以a=2,
又c=1,故b=
=
,从而椭圆C的方程为
(5分)
(2)联立直线与椭圆方程得
,消去y可得3x2+4k2x2=12,∴
.(7分)
联立直线与抛物线得
,消去y可得k2x2=4x,解得x=0或x=
(9分)
∵|MO|=|NQ|,∴N为线段OQ的中点,∴
=
,
化简得3k4-4k2-3=0,解得k2=
(负值舍去),故满足题意的k值有2个.
从而存在过原点O的两条直线l满足题意.(12分)
点评:本题考查抛物线的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,属于中档题.

(2)联立直线与椭圆方程,可求M的坐标,联立直线与抛物线,可求Q的坐标,根据|MO|=|NQ|,可得N为线段OQ的中点,从而可建立方程,由此可得结论.
解答:解:(1)∵抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0),∴椭圆的焦点坐标为(±1,0).
由点P在抛物线y2=4x上,所以P(


又点P在椭圆C上,所以2a=4,所以a=2,
又c=1,故b=



(2)联立直线与椭圆方程得


联立直线与抛物线得


∵|MO|=|NQ|,∴N为线段OQ的中点,∴


化简得3k4-4k2-3=0,解得k2=

从而存在过原点O的两条直线l满足题意.(12分)
点评:本题考查抛物线的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆、抛物线的位置关系,属于中档题.

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