题目内容

如图,四边形ABCD为正方形,QA⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.

(1)证明:PQ⊥平面DCQ;
(2)求棱锥Q­ABCD的体积与棱锥P­DCQ的体积的比值.
(1)祥见解析; (2)1.

试题分析:(1)要证直线与平面垂直,只须证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可,注意到QA⊥平面ABCD,所以有平面PDAQ⊥平面ABCD,且交线为AD,又因为四边形ABCD为正方形,由面面垂直的性质可得DC⊥平面PDAQ,从而有PQ⊥DC,又因为PD∥QA,且QA=AB=PD ,所以四边形PDAQ为直角梯形,利用勾股定理的逆定理可证PQ⊥QD;从而可证 PQ⊥平面DCQ;(2)设AB=a,则由(1)及已知条件可用含a的式子表示出棱锥Q-ABCD的体积和棱锥P-DCQ的体积从而就可求出其比值.
试题解析:(1)证明:由条件知PDAQ为直角梯形.
因为QA⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线为AD.
又四边形ABCD为正方形,DC⊥AD,
所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD,
则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.
(2)设AB=a.由题设知AQ为棱锥Q­ABCD的高,所以棱锥Q-ABCD的体积V1a3.
由(1)知PQ为棱锥P-DCQ的高,而PQ=a,△DCQ的面积为a2
所以棱锥P-DCQ的体积V2a3.
故棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值为1.
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