题目内容

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，直线l₁：y=-t²+8t（其中0≤t≤2．t为常数）；l₂：x=2．若直线l₁、l₂与函数f（x）的图象以及l₁，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示．
（1）求a、b、c的值．
（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式．

解：（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f（x）的最大值为16
则 $\text{[math]}$ 解之得： $\text{[math]}$ ，
∴函数f（x）的解析式为f（x）=-x²+8x
（2）由 $\text{[math]}$ 得x²-8x-t（t-8）=0，∴x₁=t，x₂=8-t，
∵0≤t≤2，∴直线l₁与f（x）的图象的交点坐标为（t，-t²+8t）
由定积分的几何意义知： $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由图知（0，0）和（8，0）在函数图象上，以及f（x）的最大值为16，代入函数解析式和顶点的纵坐标，列出方程组求出a、b、c的值；
（2）由图知先求出联立直线l₁与f（x）的方程，求出它们图象的交点坐标，再根据定积分的几何意义求出阴影部分的面积．
点评：本题考查了由图象求函数的解析式和阴影部分的面积，即根据点在图象上则点的坐标满足方程求解析式，用定积分求面积时应先求出交点的坐标，考查了读图能力和数形结合思想．

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