题目内容
已知a，b，c为正实数，a+b+c=1. 求证:
(1)a2+b2+c2≥
(2)
≤6
(1)a2+b2+c2≥
(2)
≤6证明略
(1)证法一:a2+b2+c2－
=(3a2+3b2+3c2－1)
=［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］
=［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］
=［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥
证法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2="1 " ∴a2+b2+c2≥
证法三: ∵
∴a2+b2+c2≥
∴a2+b2+c2≥
证法四：设a=+α，b=+β，c=+γ.
∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=(+α)2+(+β)2+(+γ)2
=+
(α+β+γ)+α2+β2+γ2
=+α2+β2+γ2≥
∴a2+b2+c2≥
∴原不等式成立.
证法二：
∴
≤
＜6
∴原不等式成立.
=(3a2+3b2+3c2－1)=
［3a2+3b2+3c2－(a+b+c)2］=
［3a2+3b2+3c2－a2－b2－c2－2ab－2ac－2bc］=
［(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2］≥0 ∴a2+b2+c2≥证法二:∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
≤a2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c2
∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2="1 " ∴a2+b2+c2≥
证法三: ∵
∴a2+b2+c2≥∴a2+b2+c2≥
证法四：设a=
+α，b=+β，c=+γ.∵a+b+c=1，∴α+β+γ=0
∴a2+b2+c2=(
+α)2+(+β)2+(+γ)2=
+ (α+β+γ)+α2+β2+γ2=
+α2+β2+γ2≥∴a2+b2+c2≥
∴原不等式成立.
证法二：
∴
≤＜6∴原不等式成立.
练习册系列答案
相关题目
满足
，求证
中，已知
，
，
(
，
)．
，
时，分别求
的值，判断
是否为定值，并给出证明；
，使得
为完全平方数．
，求证：
.
.
的单调区间；
，
， 
,根据以上规律，写出第四个等式为：__________．
+
+…+
≥n2.