题目内容

(本小题满分13分)

已知数列满足,数列满足,数列

满足

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ),试比较的大小,并证明;

(Ⅲ)我们知道数列如果是等差数列,则公差是一个常数,显然在本题的数列中,不是一个常数,但是否会小于等于一个常数呢,若会,请求出的范围,若不会,请说明理由.

 

 

 

【答案】

解:(1)依题意得:,所以是等差数列,首项,公差

所以,从而;                        ……………………………3分

(2)由(1)得,构造函数 则

时,单调递增,当时,单调递减,

所以,即,当且仅当时取等号, ………5分

所以,即,当且仅当时取等号,

所以

当且仅当时取等号;                        …………………………………8分

(3)由(1)知,不妨设恒成立,且

,等价于,      ………………10分

,则上单调递减,

所以恒成立;

所以     ……………………………12分

,所以

所以上单调递增,所以

所以为所求范围.               ……………………14分

 

【解析】

 

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