题目内容
(本小题满分13分)
已知数列满足,数列满足,数列
满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ),,试比较与的大小,并证明;
(Ⅲ)我们知道数列如果是等差数列,则公差是一个常数,显然在本题的数列中,不是一个常数,但是否会小于等于一个常数呢,若会,请求出的范围,若不会,请说明理由.
【答案】
解:(1)依题意得:,所以是等差数列,首项,公差,
所以,从而; ……………………………3分
(2)由(1)得,构造函数 则
当时,单调递增,当时,单调递减,
所以,即,当且仅当时取等号, ………5分
所以,即,当且仅当时取等号,
所以
当且仅当时取等号; …………………………………8分
(3)由(1)知,不妨设恒成立,且,
则,等价于, ………………10分
记,则在上单调递减,
所以恒成立;
所以 ……………………………12分
记,,所以,
所以在上单调递增,所以
所以为所求范围. ……………………14分
【解析】
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