题目内容

在Rt△ABC中，AB=AC=1，若一个椭圆通过A、B两点，它的一个焦点为C，另一个焦点F在AB上，则这个椭圆的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：设椭圆的另一焦点为C′，依题意可求得a，进一步可求得AC′，在直角三角形ACC′中，可求得CC′，即2c，从而可求得这个椭圆的离心率．
解答：∵在Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴ABC是个等腰直角三角形，
∴BC= $\text{[math]}$ ；
设另一焦点为C′
由椭圆定义，BC′+BC=2a，AC′+AC=2a，
设BC′=m，则AC′=1-m，
则 $\text{[math]}$ +m=2a，1+（1-m）=2a
两式相加得：a= $\text{[math]}$ ；
∴AC′=2a-AC=1+ $\text{[math]}$ -1= $\text{[math]}$
直角三角形ACC′中，由勾股定理：（2c）²=1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴c= $\text{[math]}$ ．
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
故选A．
点评：本题考查椭圆的简单性质，求得c= $\text{[math]}$ 是关键，也是难点，考查椭圆的定义与勾股定理，属于中档题．