Question

11．（1）将关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜2；
（2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解集是空集，求实数a的取值范围；
（3）对任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，求a的取值范围；
（4）已知m∈R，解关于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，去掉绝对值求出不等式的解集即可；（2）通过讨论x的范围，去掉绝对值，求出a的范围即可；
（3）问题转化为只需求出|2-x|+|3+x|的最小值大于等于a²-4a即可，根据绝对值的意义求出|2-x|+|3+x|的最小值即可；
（4）通过讨论x以及m的范围去掉绝对值号，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）x≥4时：x-3+x-4＜2，解得：x＜$\frac{9}{2}$，
3＜x＜4时：x-3+4-x=1＜2，成立，
x≤3时：3-x+4-x＜2，解得：x＞$\frac{5}{2}$，
故不等式的解集是：{x|$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$}；
（2）①x≥4 时（x-4）+（x-3）＜a
f（x）=2x-7在x≥4上单调递增
x=4时取最小值1．
若要求不等式无解，
则a小于或等于该最小值即可．
即a≤1；
②当4＞x＞3时（4-x）+（x-3）＜a
则1＜a
若要求不等式无解，则a≤1．
否则不等式的解集为全集
③x≤3时（4-x）+（3-x）＜a
则7-2x＜a
在x≤3区间，不等式左端的函数单调递减．
在x=3时取最小值1．
若要求不等式无解，则a≤1
综合以上a≤1；
（3）若对任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，
只需求出|2-x|+|3+x|的最小值大于等于a²-4a即可，
根据绝对值的意义得：|2-x|+|3+x|的最小值是5，
∴a²-4a≤5，解得：-1≤a≤5；
（4）已知m∈R，解关于x的不等式1-x≤|x-m|≤1+x
①当x≥m时：
不等式变为 1-x≤x-m≤1+x 解得x≥$\frac{m+1}{2}$ （m≥-1），
当m＜-1时：解集是空集，
当m≥1时，得解集 x≥m，
当-1≤m≤1时 得解集 x≥$\frac{m+1}{2}$，
②当x≤m时：
不等式变为 1-x≤-（x-m）≤1+x 解得：$\frac{m+1}{2}$≤x≤m （m≥1）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，绝对值的几何意义，以及分类讨论思想，是一道中档题．