题目内容

观察下列等式:
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15


13=1
13+23=9
13+23+33=36
13+23+33+43=100
13+23+33+43+53=225

可以推测:13+23+33+…+n3=
1
4
n2(n+1)2
1
4
n2(n+1)2
(n∈N+,用含有n的代数式表示).
分析:由1,9,36,100,225,…可以归纳出以下规律:以上数字皆是平方数;再利用等差数列的前n项和公式即可猜想归纳出结论.
解答:解:由1,9,36,100,225,…可以归纳出以下规律:以上数字皆是平方数,即分别是12,32,62,102,152,…
再由下列等式:1=1,1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,1+2+3+4+5=15,…
可以由等差数列的前n项和公式得到以下结论:1+2+3+…+n=
n(n+1)
2

于是可以推测:13+23+33+…+n3=[
n(n+1)
2
]2
=
1
4
n2(n+1)2
,n∈N+
点评:本题考查了归纳推理,善于观察、分析、猜想、推测、归纳能力及利用所学的知识是解决问题的关键.
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