Question

（本题满分10分）已知函数,()，若同时满足以下条件：
①在D上单调递减或单调递增
② 存在区间[]D,使在[]上的值域是[]，那么称()为闭函数。
（1）求闭函数符合条件②的区间[]；
（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间[]；若不是请说明理由；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（1）在R上单减，所以区间[]满足
解得
（2）易知在上单调递增.设满足条件B的区间为，则方程组
有解，即方程至少有两个不同的解
也即方程有两个都不小于的不等根.
得，即位所求.
另解：
(1)易知函数是减函数,则有  ,解得,
(2)取特值说明即可，不是闭函数.
(3)由函数是闭函数,易知函数是增函数,则在区间上函数的值域也是,说明函数图像与直线有两个不同交点,令,则有
 =,(令) ,如图

则直线若有两个交点，则有

略