Question

若正数数列{a_n}满足Sn=

1

2

(an+

1

an

)，其中S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求S_n；
（2）若bn=(

S

2 n

)

1

S 2 n+1

，是否存在b_k=b_m（k≠m）？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）令n=1，及a_n＞0，可求a₁，由Sn=

1

2

(an+

1

an

)=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)可得Sn+Sn-1=

1

Sn-Sn-1

，即S_n²-S_n-1²=1，则可得{S_n²}是以1首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的通项可求S_n²，进而可求S_n
（2）由（1）可得ln(bn)=

lnn

n+1

，要判断k≠m是否存在b_k=b_m，考虑函数g(x)=

lnx

x+1

（x≥1）的单调性，结合导数的知识可求

解答：解：（1）令n=1，又a_n＞0，得a₁=1．
∵Sn=

1

2

(an+

1

an

)=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，即Sn+Sn-1=

1

Sn-Sn-1

∴S_n²-S_n-1²=1，S₁²=a₁²=1
∴{S_n²}是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴S_n²=S₁²+（n-1）•1=1+n-1=n
∴Sn=

n

．
（2）bn=(

S

2 n

)

1

S 2 n+1

=n

1

n+1

，则ln(bn)=

lnn

n+1

考虑函数g(x)=

lnx

x+1

（x≥1），则g′(x)=

x+1-xlnx

x(x+1)2

．
令h（x）=x+1+xlnx（x≥1），则h'（x）=-lnx≤0，∴h（x）在[1，+∞）递减
∵h（1）=2＞0，h（2）=3-2ln2＞0，h（3）=4-3ln3＞0，h（4）=5-4ln4＜0
∴x≥4时，h（x）≤h（4）＜0，则g'（x）＜0，g（x）在[4，+∞）递减；
1≤x≤3时，h（x）≥h（3）＞0，则g'（x）＞0，g（x）在[1，3]递增．
∴g（1）＜g（2）＜g（3），g（4）＞g（5）＞g（6）＞…
即lnb₁＜lnb₂＜lnb₃，lnb₄＞lnb₅＞lnb₆＞…
∴b₁＜b₂＜b₃，b₄＞b₅＞b₆＞…
∵b3=3

1

4

＜b4=4

1

5

∴b₁＜b₂＜b₃＜b₄＞b₅＞b₆＞…
又b₁=1，当n≠1时，b_n＞1．
∴若存在两项相等，只可能是b₂、b₃与后面的项相等
又b2=2

1

3

=8

1

9

=b8，∴b₂=b₈
∵b3=3

1

4

＞b5=5

1

6

，∴数列b_n中存在唯一相等的两项b₂=b₈

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的通项公式的应用及利用函数的导数判断函数的单调性及数列单调性的应用，属于函数与数列的综合应用的考查．