Question

设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx

&(k∈R)

，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a_n∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(

1

2

-an)+lg2}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）由恒成立，转化为关于k的不等式组，解之可得解析式，进而可得值域；
（2）比如区间（0，

1

2

），用作差法可证；
（3）由（2）可得（

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2，bn=

1

2

-an，则有bn+1=2

b

2 n

，代入后由对数的运算法则可得答案．

解答：解：（1）f（x）≤6x+2恒成立，等价于（k-4）x²+（k-6）x-2≤0恒成立，
从而可得

k-4＜0 △=(k-6)2+8(k-4)≤0

，化简得

k＜4 (k-2)2≤0

，解得k=2，
所以f（x）=-2x²+2x，由二次函数的最值可知当x=

1

2

时，函数取最大值

1

2

，
故值域为（-∞，

1

2

]
（2）解：当an∈(0，

1

2

)时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，证明如下：
设an∈(0，

1

2

)，n≥1，则an+1=f(an)=-2

a

2 n

+2an=-2(an-

1

2

)2+

1

2

∈(0，

1

2

)，
所以对一切n∈N^*，均有an∈(0，

1

2

)；…（6分）
∴an+1-an=f(an)-an=-2

a

2 n

+2an-an=-2(an-

1

4

)2+

1

8

，an∈(0，

1

2

)⇒-

1

4

＜an-

1

4

＜

1

4

⇒(an-

1

4

)2＜

1

16

⇒-2(an-

1

4

)2＞-

1

8

⇒-2(an-

1

4

)2+

1

8

＞0，
从而得a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n，所以数列{a_n}在区间(0，

1

2

)上是递增数列．…（8分）
（3）证明：由（2）知an∈(0，

1

2

)，从而

1

2

-an∈(0，

1

2

)；

1

2

-an+1=

1

2

-(-2

a

2 n

+2an)=2

a

2 n

-2an+

1

2

=2(an-

1

2

)2，即

1

2

-an+1=2(

1

2

-an)2；  …（10分）   
 令bn=

1

2

-an，则有bn+1=2

b

2 n

且bn∈(0，

1

2

)；
从而有lgb_n+1=2lgb_n+lg2，可得lgb_n+1+lg2=2（lgb_n+lg2），
所以数列{lg(

1

2

-an)+lg2}是以lg(

1

2

-a1)+lg2=lg(

1

2

-

1

3

)+lg2=lg

1

3

为首项，公比为2的等比数列，…（14分）

点评：本题考查等比数列关系的确定，涉及函数的值域和恒成立问题，属中档题．