题目内容
已知数列{an}的前n项和Sn=n2-n(n∈N*)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前n项和;
(3)若正数数列{cn}满足cnn+1=
(n∈N*),求数列{cn}中的最大值.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 an+log3n=log3bn,求数列{bn}的前n项和;
(3)若正数数列{cn}满足cnn+1=
(n+1)an+1 | 2n |
分析:(1)根据n≥2时,有an=Sn-Sn-1,求出an;
(2)由an+log3n=log3bn,及对数的运算性质求出bn,用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ;
(3)确定lncn=
,构造f(x)=
,确定函数的单调性,即可得到结论.
(2)由an+log3n=log3bn,及对数的运算性质求出bn,用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Tn ;
(3)确定lncn=
ln(n+1) |
n+1 |
lnx |
x |
解答:解:(1)∵Sn=n2-n,∴当n=1时,有a1=S1=0
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(n2-n)-((n-1)2-(n-1))=2n-2
当n=1时也满足.
∴数列 {an}的通项公式为an=2n-2(n∈N*)
(2)由an+log3n=log3bn,得:bn=n•32n-2(n∈N*)
∴数列{bn}的前n项和Tn =1×30+2×32+3×34+…+n32(n-1),
故9Tn =1×32+2×34+3×36+…+(n-1)32(n-1)+n•32n,
相减可得-8Tn =1+32+34+…+32(n-1)-n•32n=
-n•32n,
∴Tn=
;
(3)由cnn+1=
可得:cnn+1=n+1,∴lncn=
令f(x)=
,则f'(x)=
,
∴n≥2(n∈N*)时,{lncn}是递减数列,
又lnc1<lnc2,
∴数列{cn}中的最大值为c2=3
.
当n≥2时,有an=Sn-Sn-1=(n2-n)-((n-1)2-(n-1))=2n-2
当n=1时也满足.
∴数列 {an}的通项公式为an=2n-2(n∈N*)
(2)由an+log3n=log3bn,得:bn=n•32n-2(n∈N*)
∴数列{bn}的前n项和Tn =1×30+2×32+3×34+…+n32(n-1),
故9Tn =1×32+2×34+3×36+…+(n-1)32(n-1)+n•32n,
相减可得-8Tn =1+32+34+…+32(n-1)-n•32n=
32n-1 |
8 |
∴Tn=
(3n-1)•32n+1 |
64 |
(3)由cnn+1=
(n+1)an+1 |
2n |
ln(n+1) |
n+1 |
令f(x)=
lnx |
x |
1-lnx |
x2 |
∴n≥2(n∈N*)时,{lncn}是递减数列,
又lnc1<lnc2,
∴数列{cn}中的最大值为c2=3
1 |
3 |
点评:本题考查数列的通项,考查数列的求和,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a、b∈R),且S25=100,则a12+a14等于( )
A、16 | B、8 | C、4 | D、不确定 |