Question

9．已知动点P与两定点A（-2，0），B（2，0）连线的斜率之积为-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若过点F（-$\sqrt{3}$，0）的直线l与轨迹C交于M、N两点，且轨迹C上存在点E使得四边形OMEN（O为坐标原点）为平行四边形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出P的坐标，由${k}_{PA}•{k}_{PB}=-\frac{1}{4}$化简整理可得曲线C的方程；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，设l：x=my-$\sqrt{3}$，代入椭圆方程整理得（m²+4）y²-$2\sqrt{3}$my-1=0，假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，其充要条件为$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，则点E的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），由${k}_{PA}•{k}_{PB}=-\frac{1}{4}$，得
$\frac{y}{x+2}•\frac{y}{x-2}=-\frac{1}{4}$，整理得：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
∴曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由题意知l的斜率一定不为0，
故不妨设l：x=my-$\sqrt{3}$，代入椭圆方程整理得（m²+4）y²-$2\sqrt{3}$my-1=0，
△=12m²+4m²+16=16m²+16＞0，
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}m}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{1}{{m}^{2}+4}$，①
假设存在点E，使得四边形OMEN为平行四边形，
其充要条件为$\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$，则点E的坐标为（x₁+x₂，y₁+y₂）．
由点E在椭圆上，即$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}=1$，
整理得${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+8{y}_{1}{y}_{2}-4=0$．
又M，N在椭圆上，即${{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4，{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4$，
故x₁x₂+4y₁y₂=-2，②
又${x}_{1}{x}_{2}=（m{y}_{1}-\sqrt{3}）（m{y}_{2}-\sqrt{3}）$=${m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-\sqrt{3}m（{y}_{1}+{y}_{2}）+3$，
将①②代入上式解得m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
即直线l的方程是：x=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$y+1，
即$\sqrt{5}x±2y-\sqrt{5}=0$．

点评 本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，注意函数与方程思想的合理运用，是中档题．