题目内容
7.当x>-1时,求f(x)=$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x+1}$的值域.分析 可设y=f(x),这样便可得到x2-(3+y)x+1-y=0,将该式看成关于x的一元二次方程,方程有解,从而有$\left\{\begin{array}{l}{△={y}^{2}+10y+5≥0}\\{\frac{3+y}{2}>-1}\end{array}\right.$,解该不等式组即可得出原函数的值域.
解答 解:设y=f(x),y=$\frac{{x}^{2}-3x+1}{x+1}$;
∴yx+y=x2-3x+1;
整理成:x2-(3+y)x+1-y=0,看成关于x的一元二次方程,方程在(-1,+∞)上有解;
设g(x)=x2-(3+y)x+1-y;
∵g(-1)=5>0;
∴要满足上面方程在(-1,+∞)上有解,首先判别式△≥0,再满足g(x)的对称轴在x=-1的右边;
∴y需满足:$\left\{\begin{array}{l}{△={y}^{2}+10y+5≥0}\\{\frac{3+y}{2}>-1}\end{array}\right.$;
解得$y≥-5+2\sqrt{5}$;
∴原函数的值域为$[-5+2\sqrt{5},+∞)$.
点评 考查函数值域的概念,形如$y=\frac{a{x}^{2}+bx+c}{d{x}^{2}+ex+f}$的函数值域的求法:整理成关于x的方程,由方程有解求其值域,要熟悉二次函数的图象.
练习册系列答案
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