题目内容
【题目】如果四面体的四条高交于一点,则该点称为四面体的垂心,该四面体称为垂心四面体.
(1)证明:如果四面体的对棱互相垂直,则该四面体是垂心四面体;反之亦然.
(2)给出下列四面体
①正三棱锥;
②三条侧棱两两垂直;
③高在各面的射影过所在面的垂心;
④对棱的平方和相等.
其中是垂心四面体的序号为 .
【答案】(1)证明见解析(2)①②③④
【解析】
(1)首先证明四面体的两条高线交于一点,再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线,即可证明结论成立.(2)①②③可通过证明对棱垂直证明是垂心四面体,④假设四面体为垂心四面体,则可证明有对棱的平方和相等,逆推依然成立,所以④也成立.
(1)先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.
作,则
,
此时两条高线
连接,下证
.连接
综上可知,四条高线交于点,故该四面体为垂心四面体;
反之,若该四面体为垂心四面体,即四条高线交于点.
,
,
,故
,
同理可证
(2)①正三棱锥底面为正三角形,侧面为全等的等腰三角形,可证明三组对棱两两垂直,所以①符合要求.②三条侧棱两两垂直,任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面,也可证明对棱垂直,所以②符合要求.③高垂直于底面棱,在侧面的射影垂直于此面的底面棱,所以底面棱垂直于高和射影所在的平面,即垂直于对棱,所以③符合要求.④假设四面体为垂心四面体,设BF交CD于E,则AC2﹣AD2=CF2﹣DF2=CE2﹣DE2=BC2﹣BD2,即AC2+BD2=AD2+BC2,反之,若故AC2+BD2=AD2+BC2,则有C2﹣AD2=CF2﹣DF2=CE2﹣DE2=BC2﹣BD2成立,即
同理可证其他,故④符合要求.
①②③④均符合要求.
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【题目】高一年级某个班分成8个小组,利用假期参加社会公益服务活动每个小组必须全员参加
,参加活动的次数记录如下:
组别 | ||||||||
参加活动次数 | 3 | 2 | 4 | 3 | 2 | 4 | 1 | 3 |
Ⅰ
从这8个小组中随机选出2个小组在全校进行活动汇报
求“选出的2个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率;
Ⅱ
记每个小组参加社会公益服务活动的次数为X.
求X的分布列和数学期望EX;
至
几小组每组有4名同学,
小组有5名同学记“该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为
,写出
与EX的大小关系
结论不要求证明
.