题目内容
【题目】我们称满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”;①;②.
(1)若数列的通项公式是,试判断数列是否为2014阶“期待数列”,并说明理由;
(2)若等比数列为阶“期待数列”,求公比及数列的通项公式;
(3)若一个等差数列既是()阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式.
【答案】(1)是;(2),或;(3).
【解析】
(1)由通项公式,利用分组求和法可证明;;从而可得结论;(2)先证明,由①,得,由②得或,利用等比数列的通项公式可得结果;(3)设等差数列的公差为,,根据既是()阶“期待数列”,求出首项与公差,利用等差数列的通项公式可得结果.
(1)∵,
所以,
∴ ,
,
所以数列为2014阶“期待数列”;
(2)若,由①得,,得,矛盾
若,则由①,得,由②得或,
所以,,数列的通项公式为或;
(3)设等差数列的公差为,,
∵,∴,即,
∵,由,得,
由①、②知,两式相减得,∴,
又,得,
∴数列的通项公式是.
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