Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点
（1）求证：AC_l∥平面B₁DC
（2）若E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x，点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按E经A₁到4的路线运动，求这一过程中三棱锥P-BCC₁的体积的表达式y（z），并求V（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）欲证AC₁∥面B₁DC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AC₁与面B₁DC内一直线平行即可，取B₁C中点F，又D为AB中点则DF∥AC_l，DF?面B₁DC，AC_l?面B₁DC，满足定理所需条件；
（2）根据条件可知PB₁⊥平面BCC₁，当点P从E点出发到A₁点时，即x∈[1，2]时，求出V_p-BCC，当点P从A₁点出发到A点时，即x∈[2，2

2

]，求出V_p-BCC，然后利用分段函数求出V（x）的体积的最值．

解答：解：（1）取B₁C中点F，又D为AB中点∴DF∥AC_l（2分）
又∵DF?面B1DC，AC_l?面B₁DC
∴AC₁∥面B₁DC（4分）
（2）已知PB₁=x，S_△BCC=2
又A₁B₁⊥平面BCC₁
∴PB₁⊥平面BCC₁（6分）
当点P从E点出发到A₁点时，即x∈[1，2]时，V_p-BCC=

1

3

•S_△BCC•PB=

2x

3

当点P从A₁点出发到A点时，即x∈[2，2

2

]，V_p-BCC=

1

3

•S_△BCC•AB=

4

3

从而V（x）=

2x 3 x∈[1，2] 4 3 x∈[2，2 2 ]

（8分）
故

2

3

=V（1）≤V（x）≤V（2）=

4

3

即V（x）最大值是

4

3

，最小值是

2

3

（10分）

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及三棱锥的体积最值的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视，属于综合题．