Question

14．设 f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，|x|＜1}\\{0，|x|=1}\\{-1，|x|＞1}\end{array}\right.$ g（x）=e^x，求f[g（x）]和g[f（x）]．

Answer 1

分析 利用已知条件，分类讨论，即可求f[g（x）]和g[f（x）]．

解答 解：|g（x）|＜1，即$\frac{1}{e}$＜x＜e，f[g（x）]=f（1）=0，
|g（x）|=1，即x=$\frac{1}{e}$或x=e，f[g（x）]=f（0）=1，
|g（x）|＞1，即x＜$\frac{1}{e}$或x＞e，f[g（x）]=f（-1）=0，
∴f[g（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{0，x≠\frac{1}{e}且x≠e}\\{1，x=\frac{1}{e}或x=e}\end{array}\right.$；
|x|＜1，g[f（x）]=g（1）=e；
|x|=1，g[f（x）]=g（0）=1；
|x|＞1，g[f（x）]=g（-1）=$\frac{1}{e}$，
∴g[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{e，|x|＜1}\\{1，|x|=1}\\{\frac{1}{e}，|x|＞1}\end{array}\right.$．．

点评 本题考查函数的解析式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．