Question

8．设函数f（x）=2sinx$co{s}^{2}\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小-1．
（1）求φ的值；若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，求f（x）的单减区间；
（2）把f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得的图象g（x），求g（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式和和角的正弦公式，可将函数解析式化为：f（x）=sin（x+φ），将x=π代入可得φ=$\frac{π}{2}$，进而由诱导公式可得f（x）=cosx，再由余弦函数的图象和性质，可得x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时f（x）的单减区间；
（2）根据函数图象的周期变换及相位变换法则，求出g（x）的解析式，结合余弦函数的图象和性质，可得g（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=2sinx$co{s}^{2}\frac{φ}{2}$+cosxsinφ-sinx=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
∴x=π时，f（x）=sin（π+φ）=-sinφ=-1，
∴sinφ=1，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx，
若x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，则f（x）的单减区间为[0，$\frac{π}{4}$]；
（2）把f（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），可得y=cos2x的图象；
再向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到g（x）=cos2（x+$\frac{π}{6}$）=cos（2x+$\frac{π}{3}$），
当x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]时，2x+$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{3}$=0时，函数取最大值1；
当2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$时，函数取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，余弦函数的图象和性质，难度中档．