Question

6．已知α为锐角，β为钝角，sinα=$\frac{2}{3}$，cosβ=-$\frac{1}{9}$，则cos²（α-β）的值为$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα和sinβ的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α-β）的值，可得cos²（α-β）的值．

解答 解：∵α为锐角，β为钝角，sinα=$\frac{2}{3}$，cosβ=-$\frac{1}{9}$，则sinα=$\sqrt{{1-cos}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
∴cos（α-β）=sinα•cosβ+sinαsinβ=$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{9}）$+$\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$\frac{2}{3}$，
∴cos²（α-β）=$\frac{4}{9}$，
故答案为：$\frac{4}{9}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．