Question

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=lnx+2x-6，
（1）求f（x）的解析式；
（2）试判断f（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的性质f（x）=-f（-x），f（0）=0即可得出；
（2）当x＞0时，函数f（x）=lnx+2x-6单调递增，且f（2）＜0，f（3）＞0，利用函数零点判定定理即可得出．再利用奇函数的性质即可得出当x＜0时零点的个数，进而得到函数f（x）零点的个数．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0．
∴f（x）=-f（-x）=-[ln（-x）-2x-6]=-ln（-x）+2x+6．
又f（0）=0．
∴f（x）=

lnx+2x-6，x＞0 0，x=0 -ln(-x)+2x+6，x＜0

．
（2）∵当x＞0时，函数f（x）=lnx+2x-6单调递增，
且f（2）=ln2+2×2-6=ln2-2＜0，f（3）=ln3+6-6=ln3＞0，
∴函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点．
同理：当x＜0时，在（-∞，0）上也存在唯一零点．
综上可知：f（x）的零点个数为3．

点评：本题考查了函数的奇偶性、函数的零点判定定理，属于中档题．