Question

10．已知a＞0，b＞0，求证：
（1）（a+b）（a^-1+b^-1）≥4
（2）（a+b）（a²+b²）（a³+b³）≥8a³b³．

Answer 1

分析 （1）通过展开、利用基本不等式计算即得结论；
（2）利用作差法及基本不等式可知（a+b）（a³+b³）≥（a²+b²）²，再次利用基本不等式计算即得结论．

解答 证明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴（a+b）（a^-1+b^-1）
=aa^-1+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$+bb^-1
=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$
≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$
=4；
（2）∵a＞0，b＞0，
∴（a+b）（a³+b³）-（a²+b²）²
=a⁴+ab（a²+b²）+b⁴-（a⁴+2a²b²+b⁴）
=ab（a²+b²）-2a²b²
≥ab•2ab-2a²b²
=0，
∴（a+b）（a³+b³）≥（a²+b²）²，
∴（a+b）（a²+b²）（a³+b³）=（a²+b²）[（a+b）（a³+b³）]
≥（a²+b²）³
≥（2ab）³
=8a³b³．

点评 本题考查不等式的证明，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．