Question

4．直线l经过两点P（-1，2）和Q（2，-2），与双曲线（y-2）²-x²=1相交于两点A、B．
（1）根据下问所需写出l的参数方程；
（2）求AB中点M与点P的距离．

Answer 1

分析 （1）直接根据两点写直线的参数方程即可；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系，首先求解弦的中点坐标，然后，再借助于两点间的距离公式求解即可．

解答 解：（1）∵直线l经过两点P（-1，2）和Q（2，-2），
∴该直线的参数方程为：
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+3t}\\{y=2-4t}\end{array}\right.$，（t为参数），
（2）根据（1），得
直线的普通方程为：4x+3y-2=0，
联立方程组，
$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y-2=0}\\{（y-2）^{2}-{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，
得25x²-32x+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{32}{25}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{16}{25}$，
∴x_M=$\frac{16}{25}$，y_M=-$\frac{4}{3}×\frac{16}{25}+\frac{2}{3}$=$\frac{38}{25}$，
∴M（$\frac{16}{25}$，$\frac{38}{25}$），
∴|MP|=$\sqrt{（\frac{16}{25}+1）^{2}+（\frac{38}{25}-2）^{2}}$
=5$\sqrt{65}$，
∴AB中点M与点P的距离5$\sqrt{65}$．

点评 本题重点考查了直线的参数方程和普通方程，直线与双曲线的位置关系，弦的中点问题等知识，属于中档题．