Question

11．与圆x²+y²-4x-6y+12=0相切且在两坐标轴的截距相等的直线有4条．

Answer 1

分析 根据切线方程在两条坐标轴上截距相等设切线方程为x+y=m，y=kx，根据圆心到切线的距离d等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出切线方程．

解答 解：将圆方程化为标准方程得：（x-2）²+（y-3）²=1，
∴圆心C坐标为（2，3），半径r=1，
根据题意设所求切线方程为x+y=m，
∵圆心到切线的距离d=r，
∴$\frac{|2+3-m|}{\sqrt{2}}$=1，即m=5±$\sqrt{2}$，
则所求切线方程为x+y+5-$\sqrt{2}$=0或x+y+5+$\sqrt{2}$=0．
直线过原点时，设方程为y=kx，即kx-y=0，
∵圆心到切线的距离d=r，
∴$\frac{|2k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴3k²-12k+8=0，△＞0，方程有两解
故答案为：4．

点评 此题考查了圆的切线方程，以及直线的截距式方程，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键