Question

12．已知数列{a_n}的前n项和T_n满足a_n+1=2T_n+6，且a₁=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和S_n；
（3）证明：$\frac{1}{3•{S}_{1}}$+$\frac{1}{{3}^{2}•{S}_{2}}$+…$\frac{1}{{3}^{n}•{S}_{n}}$＜3．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系，以及等比数列的通项公式，即可得到；
（2）运用等比数列的求和公式计算即可得到；
（3）运用裂项相消求和方法，变形整理即可得证．

解答 解：（1）由a_n+1=2T_n+6①，得a_n=2T_n-1+6（n≥2）②
②-①：有a_n+1-a_n=2T_n-2T_n-1，
即a_n+1=3a_n（n≥2），
又a₁=6，由②有a₂=2T₁+6=2a₁+6=18，知a₂=3a₁，
∴数列{a_n}是以6为首项，公比为3的等比数列，
∴an=6•3^n-1=2•3ⁿ；    
（2）由（1）得：$\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}•\frac{1}{3^n}$，
得S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{2}$•$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{{3}^{n}-1}{4•{3}^{n}}$，
（3）证明：∵$\frac{1}{{{3^n}•{S_n}}}=\frac{4}{{{3^n}-1}}=4\frac{{{3^{n+1}}-1}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=6•\frac{{2•{3^n}-\frac{2}{3}}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}$$＜6•\frac{{2•{3^n}}}{{（{3^n}-1）（{3^{n+1}}-1）}}=6•（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）$，
∴$\frac{1}{{3•{S_1}}}+\frac{1}{{{3^2}•{S_2}}}+…\frac{1}{{{3^n}•{S_n}}}＜6[（\frac{1}{{{3^1}-1}}-\frac{1}{{{3^2}-1}}）+（\frac{1}{{{3^2}-1}}-\frac{1}{{{3^3}-1}}）+…+（\frac{1}{{{3^n}-1}}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）]$
=$6•（\frac{1}{2}-\frac{1}{{{3^{n+1}}-1}}）＜3-\frac{6}{{{3^{n+1}}-1}}＜3$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，属于中档题．