Question

4．如图1，在直角梯形PBCD中，DC∥PB，A为PB上一点，且ABCD为正方形，AC、BD相交于点E，沿AD将△PAD折起，使平面PAD⊥平面ABCD，连接PB、PC得四棱锥P-ABCD，如图2所示，F是PC的中点，G为AC上一动点．

（1）求证：BD⊥FG；
（2）若点G为线段EC中点，证明：FG∥平面PBD；
（3）若PA=AB=2，求三棱锥B-CDF的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知条件，利用直线垂直于平面的判定定理，先推导出BD⊥平面APC，由此能够证明BD⊥FG．
（2）根据题设条件，利用直线与平面平行的判定定理进行证明．
（3）三棱锥B-CDF的体积等于三棱锥F-BCD的体积，利用等积法能求出结果．

解答 （1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG；
（2）证明：连结PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG∥PE
而FG?平面PBD，PB?平面PBD，
故FG∥平面PBD；
（3）解：连结FE，FD，
∵F是PC中点，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴FE∥PA，且FE=$\frac{1}{2}$PA=1，
∵PD⊥面ABCD，∴FE⊥面BCD，
∵S_△BCD=$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴三棱锥B-CDF的体积V=V_F-BCD=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与直线垂直的证明，考查空间点位置的确定，考查三棱锥体积的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．解题时要注意空间思维能力的培养，注意等积法的合理运用．