Question

已知关于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A．

  3

  2

• B．1
• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：关于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，即求（2x+

2

x-a

）_min≥7，将不等式2x+

2

x-a

配凑成基本不等的形式，利用基本不等式求最小值，进而求得a的最小值．

解答：解：∵关于x的不等式2x+

2

x-a

≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，
∴（2x+

2

x-a

）_min≥7，
∵x＞a，
∴y=2x+

2

x-a

=2（x-a）+

2

x-a

+2a≥2

2(x-a)• 2 x-a

+2a=4+2a，当且仅当2(x-a)=

2

x-a

，即x=a+1时取等号，
∴（2x+

2

x-a

）_min=4+2a，
∴4+2a≥7，解得，a≥

3

2

，
∴实数a的最小值为

3

2

．
故选A．

点评：本题考查函数的恒成立问题，以及应用基本不等式求最值．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离的方法进行处理，转化成函数的最值问题．在应用基本不等式求最值的时候，要特别注意不等式取等号的条件．属于基础题．