Question

已知关于x的不等式

ax-5

x2-a

＜0的解集为M．
（1）当a=4时，求集合M；
（2）若3∈M且5∉M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=4时，不等式化为

4x-5

x2-4

＜0，推出同解不等式，利用穿根法解不等式求得集合M；
（2）对a=25，和a≠25时分类讨论，用3∈M且5∉M，推出不等式组，然后解分式不等式组，求实数a的取值范围．

解答：解：（1）a=4时，不等式化为

4x-5

x2-4

＜0，即（4x-5）（x²-4）＜0
利用穿根法解得M=（-∞，-2）∪（

5

4

，2）．
（2）当a≠25时，由

3∈M 5∉M

得

3a-5 9-a ＜0 5a-5 25-a ≥0

∴a∈[1，

5

3

）∪（9，25）；
当a=25时，不等式为

25x-5

x2-25

＜0?M=（-∞，-5）∪（

1

5

，5）．
满足3∈M且5∉M，∴a=25满足条件．
综上所述，得a的取值范围是[1，

5

3

）∪（9，25]．

点评：本题考查其他不等式的解法，元素与集合关系的判断，考查穿根法，分式不等式的解法，是中档题．