Question

已知关于x的不等式

2-x

+

x+1

＜m对于任意的x∈[-1，2]恒成立，则m的取值范围是

[

3

，

6

]

．

Answer 1

分析：令f（x）=

2-x

+

x+1

，则f′（x）=

1

2 2-x

+

1

2 x+1

=

2-x - x+1

2 2-x x+1

，容易判断出分母为正，再通过分子的正负得出f（x）的单调性，进而求得最值及范围．

解答：解：令f（x）=

2-x

+

x+1

，则f′（x）=

1

2 2-x

+

1

2 x+1

=

2-x - x+1

2 2-x x+1

当x∈-1，2）时，分母大于零；令u（x）=

2-x

-

x+1

，容易得知u（x）在∈[-1，2]上单调递减，
由u（x）=0得x=

1

2

，当-1＜x＜

1

2

时，u（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当2＞x＞

1

2

时，u（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以x=

1

2

是f（x）的极大值点，也是最大值点，f（x）max=f（

1

2

）=

3 2

+

3 2

=

6

f（-1）=f（2）=

3

，所以f（x）min=

3

综上所述m的取值范围是[

3

，6]
故答案为：[

3

，6]

点评：本题考查函数值域求解，高中阶段方法比较多，这里根据具体题目，利用导数工具进行求解．导数是研究函数性质的有力工具．