Question

已知复数z满足|z|=

2

，z²的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）设z，(

.

z

)2，z-z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m-z|=1求|m|的最值．

Answer 1

（1）设Z=x+yi（x，y∈R）
由题意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi
∴

x2+y2 = 2 (1) 2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y将其代入（2）得2x²=2，
∴x=±1
故

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；
（2）当Z=1+i时，Z²=2i，Z-Z²=1-i
所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）
∴|AC|=2，S△ABC=

1

2

×1×2=1
当Z=-1-i时，(

.

z

)2=-2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，-2），C（-1，3）
S△ABC=

1

2

×1×2=1．
（3）由题知，z=1+i
设m=c+di，则m-z=（c-1）+（d-1）i
|m-z|=1，
∴（c-1）²+（d-1）²=1
则复数m在复平面内所对应的点为M的轨迹为（1，1）为圆心，1为半径的圆
所以|m|min=

2

-1，|m|max=

2

+1