Question

8．如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内（不含边界）
①$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$； ②$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$  ③$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$  ④$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{OB}$．

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①②③
• D． ③④

Answer 1

分析 根据平面向量基本定理，可得到得$\overrightarrow{ON}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OB}$，由M在阴影区域内可得实数r≥1，从而$\overrightarrow{OM}$=rt$\overrightarrow{OA}$+r（1-t）$\overrightarrow{OB}$，且 rt+r（1-t）=r≥1得出结论

解答 解：设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，
则存在实数t∈（0，1]使得$\overrightarrow{ON}$=t$\overrightarrow{OA}$+（1-t）$\overrightarrow{OB}$，
且存在实数r≥1，使得$\overrightarrow{OM}$=r$\overrightarrow{ON}$，从而$\overrightarrow{OM}$=rt$\overrightarrow{OA}$+r（1-t）$\overrightarrow{OB}$，且 rt+r（1-t）=r≥1．
又由于 0≤t≤1，故 r（1-t）≥0．
对于①中rt=1，r（1-t）=2，解得r=3，t=$\frac{2}{3}$，满足r≥1也满足r（1-t）≥0，故①满足条件．
对于②rt=$\frac{3}{4}$，r（1-t）=$\frac{1}{3}$，解得r=$\frac{13}{12}$，t=$\frac{9}{13}$，满足r≥1也满足r（1-t）≥0，故②满足条件，
对于③rt=$\frac{1}{2}$，r（1-t）=$\frac{1}{3}$，解得r=$\frac{5}{6}$，t=$\frac{3}{5}$，不满足r≥1，故③不满足条件，
对于④rt=$\frac{3}{4}$，r（1-t）=$\frac{1}{5}$，解得r=$\frac{19}{20}$，t=$\frac{15}{19}$，不满足r≥1，故④不满足条件，
故选：A．

点评 本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，属于基础题．