Question

17．设D是△ABC中BC边上的中点，过D作一条直线分别交直线AB、AC于点M、N，设$\overrightarrow{AM}$=m$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=n$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，且m＞0，n＞0．
（1）分别用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$；
（2）试探究：$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$是否为定值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，从而解得，$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$=n$\overrightarrow{AC}$-m$\overrightarrow{AB}$；
（2）由$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$共线可得（$\frac{1}{2}$-m）n=-$\frac{1}{2}$m，从而解得．

解答 解：（1）$\overrightarrow{MD}$=$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{BD}$
=（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AM}$）+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$
=（$\overrightarrow{AB}$-m$\overrightarrow{AB}$）+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）
=（$\frac{1}{2}$-m）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{1}{2}$-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$；
$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AM}$
=n$\overrightarrow{AC}$-m$\overrightarrow{AB}$=n$\overrightarrow{b}$-m$\overrightarrow{a}$；
（2）∵$\overrightarrow{MD}$与$\overrightarrow{MN}$共线，
∴存在λ，使$\overrightarrow{MD}$=λ$\overrightarrow{MN}$，
即（$\frac{1}{2}$-m）$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$=λ（n$\overrightarrow{b}$-m$\overrightarrow{a}$），
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}-m=-mλ}\\{\frac{1}{2}=nλ}\end{array}\right.$，
故（$\frac{1}{2}$-m）n=-$\frac{1}{2}$m，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=2．

点评 本题考查了平面向量的线性运算的应用．