题目内容
【题目】已知圆
的圆心为
，点
是圆内一个定点，点
是圆上任意一点，线段
的垂直平分线与半径
相交于点
.
（1）求动点的轨迹
的方程；
（2）给定点
，设直线
不经过点
且与轨迹相交于
，
两点，以线段
为直径的圆过点.证明：直线过定点.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据垂直平分线的性质以及椭圆的定义，即可得出动点
的轨迹
的方程；
（2）根据圆的性质得出
，再将垂直关系转化为
，讨论直线
斜率的存在性，设出直线的方程
，联立椭圆方程，利用韦达定理以及，得出
，从而确定直线过定点.
（1）如图，由已知，圆心
，半径
.
∵点在线段
的垂直平分线上，则
又
，∴
又∵
，∴
则动点的轨迹是以，
为焦点，长轴长
的椭圆
从而
，
，
，
故所求轨迹方程为.
（2）由已知，，则，
若的斜率不存在，设
，由题设知
，且
此时，
，
，
，
则
，解得
，不符合题设.
若的斜率存在，设
将代入得
由题设可知
设
，
，则
，
，
，从而
即
化简得
，解得（舍去）或
此时
成立，于是
故直线过定点
.
出彩同步大试卷系列答案
【题目】某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下
列联表：
40岁以下 | 40岁以上 | 合计 | |
很兴趣 | 30 | 15 | 45 |
无兴趣 | 20 | 35 | 55 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
（1）根据列联表，能否有
的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？
（2）若已经从
岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了
名，现从这名被调查者中随机选取
名，求这名被调查者中恰有
名对手机游戏无兴趣的概率.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.84 | 6.635 | 10.828 |
（注：参考公式：
，其中
）
【题目】随机调查某城市80名有子女在读小学的成年人，以研究晚上八点至十点时间段辅导子女作业与性别的关系，得到下面的数据表：
是否辅导 性别 | 辅导 | 不辅导 | 合计 |
男 | 25 | 60 | |
女 | |||
合计 | 40 | 80 |
（1）请将表中数据补充完整；
（2）用样本的频率估计总体的概率，估计这个城市有子女在读小学的成人女性晚上八点至十点辅导子女作业的概率；
（3）根据以上数据，能否有99%以上的把握认为“晚上八点至十点时间段是否辅导子女作业与性别有关？”.
参考公式：
，其中
.
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占
，统计成绩后得到如下
列联表：
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是
，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（参考公式
其中
）