题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx（abc≠0）．（1）证明：只要a＜0，无论b取何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；
（2）在同一函数图象上任意取不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，
①对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，求证：k=f′（x0）；
②对于“伪二次函数”g（x）=ax2+bx+clnx，是否有①同样的性质？证明你的结论．
分析：（1）用导函数大于0在定义域内恒成立，结合二次不等式恒成立知不可能，据导数大于0函数单增，得证．
（2）①据两点斜率公式求k，再据中的坐标公式和导数公式得f′（x0），得证．
（2）②先假设有得到一个关于t的等式，构造函数，研究函数单调性求最小值，得等式不成立，故假设不成立．
（2）①据两点斜率公式求k，再据中的坐标公式和导数公式得f′（x0），得证．
（2）②先假设有得到一个关于t的等式，构造函数，研究函数单调性求最小值，得等式不成立，故假设不成立．
解答：解：（1）如果x＞0，g（x）为增函数，则
g′（x）=2ax+b+
=
＞0(i)恒成立．
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
=
=2ax0+b
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
=
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
=
，c≠0
即∴
=
，
令t=
，t＞1，则
=
设s（t）=lnt-
，则s′(t)=
-
=
＞0
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
g′（x）=2ax+b+
| c |
| x |
| 2ax2+bx+c |
| x |
∴2ax2+bx+c＞0（ii）恒成立
∵a＜0，由二次函数的性质，（ii）不可能恒成立
则函数g（x）不可能总为增函数．
（2）①对于二次函数：
k=
| f(x2)-f(x1) |
| x2- x1 |
| a(x22-x12)+b(x2-x1) |
| x2-x1 |
由f′（x）=2ax+b故f′（x0）=2ax0+b
即k=f′（x0）
（2）②
不妨设x2＞x1，对于伪二次函数g（x）=ax2+bx+clnx=f（x）+clnx-c，
k=
| g(x2)-g(x1) |
| x2-x1 |
f(x2)-f(x1)+cln
| ||
| x2-x1 |
如果有①的性质，则g′（x0）=k
∴
cln
| ||
| x2-x1 |
| c |
| x0 |
即∴
ln
| ||
| x2-x1 |
| 2 |
| x1+x2 |
令t=
| x2 |
| x1 |
| lnt |
| t-1 |
| 2 |
| t+1 |
设s（t）=lnt-
| 2t-2 |
| t+1 |
| 1 |
| t |
| 2(t+1)-2(t-1) |
| (t+1)2 |
| (t-1)2 |
| t(t+1)2 |
∴s（t）在（1，+∞）上递增，
∴s（t）＞s（1）=0
∴g′（x0）≠k∴“伪二次函数“g（x）=ax2+bx+clnx不具有①的性质．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值、两点斜率、不等式恒成立问题、构造函数等．
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