Question

如图所示，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是菱形，四边形BCC₁B₁是矩形，AB⊥BC，CB=3，AB=4，∠A₁AB=60°.

（1）求证：平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁；

（2）求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正切值；

（3）求点C₁到平面A₁CB的距离.

Answer 1

(1)证明略 (2) （3）C₁到平面A₁BC的距离为2

解析:

（1）  ∵四边形BCC₁B₁是矩形，∴BC⊥BB₁.

又∵AB⊥BC，∴BC⊥平面A₁ABB₁.

∵BC平面CA₁B，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁.

（2）  过A₁作A₁D⊥B₁B于D，连接DC，∵BC⊥平面A₁ABB₁，

∴BC⊥A₁D. ∵BC∩BB₁=B，

∴A₁D⊥平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD为直线A₁C与平面BCC₁B₁所成的角.

在矩形BCC₁B₁中，DC=.

∵四边形A₁ABB₁是菱形，∠A₁AB=60°,

AB=4，∴A₁D=2，

∴tan∠A₁CD===.

（3）  ∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁∥平面A₁BC，

∴C₁到平面A₁BC的距离即为B₁到平面A₁BC的距离.

连接AB₁，AB₁与A₁B交于点O，

∵四边形A₁ABB₁是菱形，∴B₁O⊥A₁B.

∵平面CA₁B⊥平面A₁BB₁，∴B₁O⊥平面A₁BC.

∴B₁O即为C₁到平面A₁BC的距离.

∵B₁O=2，∴C₁到平面A₁BC的距离为2.