Question

【题目】已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）当有两个极值点时，若的极大值小于整数，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）为上的减函数（2）3

【解析】分析：（1）求出函数的导数，法一、结合二次函数的图象与性质判断导函数的符号，求出函数的单调性即可；法二、令，则，结合函数的单调性求出的极大值，即可得到结论；

（2）令，则，根据函数的单调性得到有两个实数根（），取出实数的取值范围，进而求出的极大值，进而得出实数的取值范围.

详解：（1）由题.

方法1：由于，

又，所以，从而，

于是为上的减函数.

方法2：令，则，

当时，，为增函数；当时，，为减函数.

故在时取得极大值，也即为最大值.

则.由于，所以，

于是为上的减函数.

（2）令，则，

当时，，为增函数；当时，，为减函数.

当趋近于时，趋近于.

由于有两个极值点，所以有两个不等实根，

即有两不等实根（）.

则解得.

可知，由于，，则.

而，即（#）

所以，于是，（*）

令，则（*）可变为，

可得，而，则有，

下面再说明对于任意，.

又由（#）得，把它代入（*）得，

所以当， 恒成立，

故为的减函数，所以.

所以满足题意的整数的最小值为3.