Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点F作一条渐近的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  5

• D、

  3

Answer 1

分析：先设垂足为D，根据双曲线方程可求得其中一个渐近线和焦点F的坐标，进而得到D点坐标．表示直线DF的斜率与直线OD的斜率乘积为-1，进而得到a和b的关系，进而求得离心率．

解答：解：设垂足为D，
根据双曲线方程可知其中一个渐近线为y=

b

a

x，焦点为F（

a2+b2

，0）
所以D点坐标（

a2+b2

2

，

b a2+b2

a

）
∴k_DF=

b a2+b2 a -0

a2+b2 2 - a2+b2

=-

b

a

∵OD⊥DF
∴k_DF•k_OD=-1
∴

b

a

=

a

b

，即a=b
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

2

故选A．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，解决的关键是熟练掌握双曲线关于渐近线、焦点、标准方程等基本知识．