Question

12．已知定义域为R的奇函数f（x）满足，当x＜0时，f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$+9，若f（x）≥m+1对一切x≥0成立，则实数m的取值范围是{m|m≥2或m≤-$\frac{10}{7}$}．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的对称性求出当x＞0时的解析式，利用基本不等式的性质求出函数f（x）的最值即可得到结论．

解答 解：若x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$+9，
∴当-x＜0时，f（-x）=-9x-$\frac{{m}^{2}}{x}$+9，
∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-9x-$\frac{{m}^{2}}{x}$+9=-f（x），
即f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$-9，x＞0，
当x=0时，f（0）=0，满足f（x）≥0，
则当x＞0时，f（x）=9x+$\frac{{m}^{2}}{x}$-9≥2$\sqrt{9x•\frac{{m}^{2}}{x}}$-9=6|m|-9，x＞0，
若f（x）≥m+1对一切x≥0成立，
则6|m|-9≥m+1，
解得m≥2或m≤-$\frac{10}{7}$，
故答案为：{m|m≥2或m≤-$\frac{10}{7}$}

点评 本题主要考查函数恒成立问题，根据函数的奇偶性求出函数的解析式，以及利用基本不等式求出最小值是解决本题的关键．