Question

【题目】如图，平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点.

（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；

（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）线段CQ的长度为 .

【解析】

（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量 ，的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；

（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为 ，再点A到平面EFQ的距离，求出x0，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），

则 ，．

设异面直线EG与BD所成角为θ，

所以异面直

线EG与BD所成角大小为 ．

（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，

设点Q（x0，2，0），平面EFQ的法向量为 ，

则有 得到y＝0，z＝xx0，取x＝1，

所以 ，

则 ，

又x0＞0，解得 ，

所以点 即 ，

则 ．

所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为 ．