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精英家教网A．选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2 ）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB上）．求证：AB：AC为定值．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵A=
11
21
，向量β=
1
2
．求向量
α
，使得A2
α
=
β
．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆
x=5cosφ
y=3sinφ
（φ为参数）的右焦点，且与直线
x=4-2t
y=3-t
（t为参数）平行的直线的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．
分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．
B、设向量
α
=
.
x
y
.
，由 A2
α
=
β
，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量
α
．
C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式
求得所求直线的方程．
D、原不等式可化为
x+2x-1＜3
2x-1≥0
，或
x-(2x-1)＜3
2x-1＜0
，分别解出这两个不等式组的解集，
再把解集取并集．
解答：解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，
∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2  为定值．
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B、A2=
.
11
21
.
 
.
11
21
.
=
.
32
43
.
，设向量
α
=
.
x
y
.
，由 A2
α
=
β
 可得
.
32
43
.
.
x
y
.
=
.
1
2
.
，∴
3x=2y=1
4x+3y=2
，解得 x=-1，y=2，
∴向量
α
=
.
1
2
.
．
C、椭圆
x=5cosφ
y=3sinφ
（φ为参数）的普通方程为
x2
25
+
y2
9
=1，右焦点为（4，0），
直线
x=4-2t
y=3-t
（t为参数） 即 x-2 y+2=0，斜率等于
1
2
，故所求的直线方程为
y-0=
1
2
（x-4），即 x-2 y-4=0．
D、原不等式可化为 
x+2x-1＜3
2x-1≥0
，或
x-(2x-1)＜3
2x-1＜0
，
解得 
1
2
≤x＜
4
3
，或-2＜x＜
1
2
，故不等式的解集为 {x|-2＜x＜
4
3
}．
点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．
练习册系列答案
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精英家教网A（选修4-1：几何证明选讲）
如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D，连接CF交AB于点E．
求证：DE2=DB•DA．
B（选修4-2：矩阵与变换）
求矩阵
21
12
的特征值及对应的特征向量．
C（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ，直线l的参数方程是
x=-
3
5
t+2
y=
4
5
t
（t为参数）．
（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求MN的最大值．
D（选修4-5：不等式选讲）
已知m＞0，a，b∈R，求证：(
a+mb
1+m
)2≤
a2+mb2
1+m
．
选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．
（A）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心交⊙O于C，D两点，若PA=2，AB=4，PO=5，则⊙O的半径长为
13
13
．

（B）选修4-4：坐标系与参数方程
参数方程
x=
1
2
(et+e-t)
y=
1
2
(et-e-t)
中当t为参数时，化为普通方程为
x2-y2=1（x≥1）
x2-y2=1（x≥1）
．
（C）选修4-5：不等式选讲
不等式|2-x|+|x+1|≤a对于任意x∈[0，5]恒成立的实数a的集合为
{a|a≥9}
{a|a≥9}
．
选做题在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．
请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB，AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R，若矩阵M=[
-1
b
a
3
]所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．
C．选修4-4：坐标系与参数方程将参数方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：已知a，b是正数，求证（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥92．
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B．选修4-2（矩阵与变换）
将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．
C．选修4-4（坐标系与参数方程）
求直线
x=1+2t
y=1-2t
（t为参数）被圆
x=3cosa
y=3sina
（α为参数）截得的弦长．
D．选修4-5（不等式选讲）
已知x，y均为正数，且x＞y，求证：2x+
1
x2-2xy+y2
≥2y+3．

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