题目内容
16.已知集合M:{(x,y)|x2+y2≤1}与集合N:{(x,y)|(x-2)2+y2≤4},Q(x,y)∈M∩N,则3x+4y的取值范围是[-4,5].分析 先画出满足条件的平面区域,结合点到直线的距离公式求出其范围即可.
解答 解:若集合M:{(x,y)|x2+y2≤1},
集合N:{(x,y)|(x-2)2+y2≤4},
Q(x,y)∈M∩N,
画出满足条件的平面区域,如图示:
,
令z=3x+4y,得:y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{z}{4}$,
由题意得:直线-$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{z}{4}$=0和小圆相切时:z最大,
此时小圆的圆心(0,0)到直线的距离d=$\frac{\frac{z}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=1,解得:z=5,
直线-$\frac{3}{4}$x-y+$\frac{z}{4}$=0和大圆相切时:z最小,
此时大圆的圆心(2,0)到直线的距离d=$\frac{|-\frac{3}{2}+\frac{z}{4}|}{\sqrt{\frac{9}{16}+1}}$=2,解得:z=-4,
故答案为:[-4,5].
点评 不同考查了元素和集合的关系,考查线性规划、点到直线的距离公式,是一道中档题.
练习册系列答案
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