Question

P为椭圆＋＝1上任意一点，F₁、F₂为左、右焦点，如图所示．
(1)若PF₁的中点为M，求证：|MO|＝5－|PF₁|；
(2)若∠F₁PF₂＝60°，求|PF₁|·|PF₂|之值；
(3)椭圆上是否存在点P，使·＝0，若存在，求出P点的坐标， 若不存在，试说明理由

Answer 1

(1)证明：在△F₁PF₂中，MO为中位线，
∴|MO|＝＝
＝a－＝5－|PF₁|.
(2)解：∵ |PF₁|＋|PF₂|＝10，
∴|PF₁|²＋|PF₂|²＝100－2|PF₁|·|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°＝，
∴|PF₁|·|PF₂|＝100－2|PF₁|·|PF₂|－36，
∴|PF₁|·|PF₂|＝.
(3)解：设点P(x₀，y₀)，则＋＝1.①
易知F₁（-3，0），F₂（3，0），故PF₁＝(－3－x₀，－y₀)，
PF₂＝(－3－x₀，－y₀)，
∵PF₁·PF₂=0，∴－9＋＝0，②
由①②组成方程组，此方程组无解，故这样的点P不存在．

解析