题目内容

【题目】已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点，且椭圆上的点到点的最大距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知圆，直线.试证：当点在椭圆上运动时，直线与圆恒相交，并求直线被圆所截得弦长的取值范围.

【答案】（1） （2）证明见解析；

【解析】

(1)由题意先求出即，再根据椭圆上的点到点的最大距离为，即，结合计算即可；

(2) 由圆，直线可求出圆心直线的距离，再代入弦长公式，结合根据直线与圆恒相交以及椭圆方程即可求出被圆所截得弦长的取值范围.

解：（1）由，得，

所以直线过定点，即.

设椭圆方程

，所以椭圆方程为

（2）因为点在椭圆上，所以，

圆心到直线的距离为

所以直线与圆恒相交.

又直线被圆截得的弦长为

，

由于，所以，

则，即直线被圆截得的弦长的取值范围是.

练习册系列答案
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时间

周一

周二

周三

周四

周五

车流量×（万辆）

50

51

54

57

58

PM2.5的浓度（微克/立方米）

60

70

74

78

79

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