题目内容

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与 $数学公式$ 两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a₁的值；当n=3时，数列a₁，a₂，a₃是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a₁，a₂，…，a_n的一个真命题，并加以证明．

解：（1）由于3×4 与 $\text{[math]}$ 均不属于数集{1，3，4}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P …2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，2，3，6} 具有性质P…4分
（2）∵A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性质P，
∴a_na_n 与 $\text{[math]}$ 中至少有一个属于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A …5分
从而 $\text{[math]}$ …6分∴a₁=1 …7分
当n=3 时，∵ $\text{[math]}$ ，a₁=1，a₂a₃∉A，∴ $\text{[math]}$ 都属于A …8分
从而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即a₃=a₁a₃=a₂²，…9分
故数列a₁，a₂，a₃ 成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列． …12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），知 $\text{[math]}$ 都属于A，又 $\text{[math]}$ ，从而，有 $\text{[math]}$ ，即 a_2k+1=a₁a_2k+1=a₂a_2k=a₃a_2k-1=…=a_i+2a_2k-i=…=a₂a_k+2=a_k+1² …（﹡）因为a_i+ja_2k-i＞a_i+2a_2k-i=a_2k+1（0≤i≤k-2，3≤j≤2k-2i），所以，只有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均属于A．将i 从0 到k-2 列举，便得到：
第1组： $\text{[math]}$ ，共2k-2 项；
第2组： $\text{[math]}$ ，共2k-4 项；
第3组： $\text{[math]}$ ，共2k-6 项；
…第k-1 组： $\text{[math]}$ ，共2 项．上一组的第2项总大于下一组的第1项，
再注意到 $\text{[math]}$ ，故第1组的各数从左到右依次为：a_2k-2，a_2k-3，a_2k-4，…，a₂，a₁；第2组的各数从左到右依次为：a_2k-4，a_2k-5，a_2k-6，…，a₂，a₁；第3组的各数从左到右依次为：a_2k-6，a_2k-7，a_2k-8，…，a₂，a₁； …第k-1 组的各数从左到右依次为：a₂，a₁．于是，有 $\text{[math]}$ ，由（﹡）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ，故数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列．…15分
分析：（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与 $\text{[math]}$ 两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）根据A={a₁，a₂，…，a_n} 具有性质P，则a_na_n 与 $\text{[math]}$ 中至少有一个属于A，由于 1≤a₁＜a₂＜…a_n，故a_na_n∉A 从而 $\text{[math]}$ 求出a₁的值，易证 $\text{[math]}$ 都属于A，从而 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即a₃=a₁a₃=a₂²，满足等比数列的定义；
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a₁，a₂，…，a_n 成等比数列，由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a_2k+1a_i∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法进行证明即可．
点评：本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．