Question

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥3）具有性质P：对?i，j（1≤i≤j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个属于A．
（1）分别判断数集{0，1，3}与数集{0，2，4，6}是否具有性质P，说明理由；
（2）求证：a₁+a₂+…+a_n=

n

2

a_n；
（3）已知数集A={a₁，a₂…，a₈}具有性质P．证明：数列a₁，a₂，a₈是等差数列．

Answer 1

分析：（1）利用新定义，可以判断集合{0，1，3}不具有性质P，{0，2，4，6}具有性质P；
（2）令j=n，i＞1，可得a_n-a_i属于A，证明a_n=a_i+a_n+1-i，倒序相加即可得到结论；
（3）由（2）可知，a_n=a_i+a_n+1-i，从而a₈=a_i+a_9-i，…①，再由a₈=a₂+a₇知，a₃+a₇，a₄+a₇，…，a₇+a₇均不属于A，由A具有性质P，a₇-a₃，a₇-a₄，…，a₇-a₇均属于A，从而有a_i-a_8-i=a₇…②．由①②可得a₈-a₇=a_i-a_i-1即可判断具有性质P的集合A中的数列a₁，a₂，a₈是成等差数列．

解答：解：（1）由于3-1和3+1都不属于集合{0，1，3}，所以该集合不具有性质P；
由于2+0、4+0、6+0、4+2、6-2、6-4、0-0、2-2、4-4、6-6都属于集合{0，2，4，6}，所以该数集具有性质P． 
（2）令j=n，i＞1，则∵“a_i+a_j与a_j-a_i两数中至少有一个属于A”，
∴a_i+a_j不属于A，∴a_n-a_i属于A
令i=n-1，那么a_n-a_n-1是集合A中某项，a₁不行，是0，a₂可以．
如果是a₃或者a₄，那么可知a_n-a₃=a_n-1，那么a_n-a₂＞a_n-a₃=a_n-1，只能是等于a_n了，矛盾．
所以令i=n-1可以得到a_n=a₂+a_n-1，
同理，令i=n-2、n-3，…，2，可以得到a_n=a_i+a_n+1-i，
∴倒序相加即可得到a₁+a₂+a₃+…+a_n=

n

2

a_n．
（3）由（2）可知，a_n=a_i+a_n+1-i，（i=1，2，…，n）
∴a₈=a_i+a_9-i，…①
由a₈=a₂+a₇知，a₃+a₇，a₄+a₇，…，a₇+a₇均不属于A，
由A具有性质P，a₇-a₃，a₇-a₄，…，a₇-a₇均属于A，
∴a₇-a₇＜a₇-a₆＜…＜a₇-a₄＜a₇-a₃＜a₈-a₃，
∴a₈-a₃=a₆
∴a₇-a₇=0，a₇-a₆=a₂，a₇-a₅=a₃，…，a₇-a₃=a₅
即a_i-a_8-i=a₇…②
由①②可知a_i=a₈-a_9-i=a₈-（a₇-a_i-1）（i=1，2，3，…，8）
∴a₈-a₇=a_i-a_i-1
故a₁，a₂，a₈构成等差数列．

点评：本题考查数列的综合应用，考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，属于难题．