已知数集A={a1.a2.-.an}(1≤a1＜a2＜-an.n≥2)具有性质P,对任意的i.j.aiaj与ajai两数中至少有一个属于A．(I)分别判断数集{1.3.4}与{1.2.3.6}是否具有性质P.并说明理由,(Ⅱ)证明:a1=1.且a1+a2+-+ana-11+a-12+-+a-1n=an,(Ⅲ)证明:当n=5时.a1.a2.a3.a4.a5成等比数列．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知数集A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…a_n，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与

两数中至少有一个属于A．
（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：a₁=1，且

a1+a2+…+an

-1

+…+

-1

=an；
（Ⅲ）证明：当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等比数列．

分析：（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j与

两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（Ⅱ）由性质P，知a_na_n＞a_n，故a_na_n∉A，从而1=

∈A，a₁=1．再验证又∵

＜

an-1

＜…＜

＜

，

=1，

an-1

=a2，…，

=an-1，从而

an-1

+…+

=a₁+a₂+…+a_n，命题得证；
（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明

=a2即可．

解答：解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，
∴该数集不具有性质P．
由于1×2，1×3，1×6，2×3，

，

，都属于数集{1，2，3，6，
∴该数集具有性质P．
（Ⅱ）∵A={a₁，a₂，…，a_n}具有性质P，
∴a_na_n与

中至少有一个属于A，
由于1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，∴a_na_n＞a_n
故a_na_n∉A．
从而1=

∈A，a₁=1．
∵1=a₁＜a₂＜…a_n，n≥2，∴a_ka_n＞a_n（k=2，3，4，…，n），
故a_ka_n∉A（k=2，3，4，…，n）．
由A具有性质P可知

∈A（k=2，3，4，…，n）．
又∵

＜

an-1

＜…＜

＜

，
∴

=1，

an-1

=a2，…，

=an-1，
从而

an-1

+…+

=a₁+a₂+…+a_n，
∴且

a1+a2+…+an

-1

+…+

-1

=an；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，
有

=a2，

=a3，即a₅=a₂•a₄=a₃²，
∵1=a₁＜a₂＜…＜a₅，∴a₃a₄＞a₂a₄=a₅，∴a₃a₄∉A，
由A具有性质P可知

∈A．
由a₂•a₄=a₃²，得

∈A，
且1＜

=a2，∴

=a2，
∴

=a2，
即a₁，a₂，a₃，a₄，a₅ 是首项为1，公比为a₂等比数列．

点评：本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．

练习册系列答案

试题分类